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1.7.5.2 Propriétés

Propriété 1.7.2   Le domaine de définition d'une fonction paire ou impaire est symétrique, c'est-à-dire

$$x \in D_f \iff (-x) \in D_f$$

Propriété 1.7.3   La courbe $C_f$ d'une fonction $f$

• est symétrique par rapport l'axe des ordonnées si $f$ est paire
• est symétrique par rapport l'origine si $f$ est impaire

Propriété 1.7.4   Pour toute fonction $f$ dont le domaine de définition $D_f$ est symétrique, il existe deux fonctions $f_p$ et $f_i$ telles que

• $f_p$ est paire, $f_i$ est impaire
• $f_p + f_i = f$

En effet, posons

$$f_p (x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2}$$

et

$$f_i (x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$$

on a bien

• $$\begin{eqnarray*} f_p (-x) & = & \frac{f(-x) + f(-(-x))}{2} \\ &= &\frac{f(-x) + f(x)}{2} \\ &=& f_p (x) \end{eqnarray*}$$
  
  
  donc $f_p$ est paire. Par ailleurs,
  $$\begin{eqnarray*} f_i (-x) &=& \frac{f(-x) - f(-(-x))}{2} \\ &= &\frac{-f(x) + f(x)}{2} \\ &= &- f_i (x) \end{eqnarray*}$$
  
  
  donc $f_i$ est impaire.

• $$\begin{eqnarray*} f_p (x) + f_i (x) & = & \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) -... ...x) + f(x) - f(-x)}{2} \\ & = & \frac{2f(x)}{2} \\ & = & f(x) \end{eqnarray*}$$