suivant : 1.7.5 Parité remonter : 1.7.4 Fonctions composées précédent : 1.7.4.1 Domaine de définition

1.7.4.2 Exemples

1. $$h(x) = \sqrt{\frac{1}{(1 - x^2)}}$$, on pose $f(x) = \sqrt{x}$ et $$g(x) = \frac{1}{(1 - x^2)}$$, on remarque que $h = f \circ g$. Calculons $D_g$, $D_g = \{ x \vert x \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}\ et\ 1 - x^2 \not = 0\}$, or $1 - x^2 \not= 0 \iff (x \not= -1) \wedge (x \not= 1)$, donc $D_g = \mbox{I\hspace{-.15em}R}\setminus \{-1, 1\}$. On sait que $D_f = \mbox{I\hspace{-.15em}R}^+$, définissons donc l'ensemble
   
   $$\{x \vert g(x) \in D_f\} = \left\lbrace x \mid \frac{1}{(1 - x^2)} \geq 0 \right\rbrace$$
   
   
   $$\frac{1}{(1 - x^2)}$$ est du signe de $(1 - x)(1 + x)$, qui est strictement positif $\iff -1 < x < 1$ (si vous ne me croyez pas, faites un tableau de signe !) et jamais nul car $-1 \not\in D_g$ et $1 \not\in D_g$. Donc $$\left\lbrace x \vert \frac{1}{(1 - x^2)} \geq 0 \right\rbrace = ] -1, 1[$$. Comme $D_{g \circ f} = (\mbox{I\hspace{-.15em}R}\setminus \{-1, 1\}) \cap ] - 1, 1[ = ]-1, 1[$, on a finalement

   
   

   $$D_{g \circ f} = ]-1, 1[$$
   
   

2. $$h(x) = \frac{1}{(1 - \frac{1}{(1 - x)})}$$, on pose $$f(x) = \frac{1}{(1 - x)}$$, on remarque que $h = f \circ f$. On sait que $D_f = \mbox{I\hspace{-.15em}R}\setminus \{1\}$. Déterminons maintenant $$\{x \vert f(x) \in D_f \} = \left\lbrace x \vert \frac{1}{(1 - x)} \not= 1\right\rbrace$$, on a $$\frac{1}{(1 - x)} = 1 \iff 1 - x = 1 \iff x = 0$$. Donc $$\left\lbrace x \vert \frac{1}{(1 - x)} \not= 1\right\rbrace = \mbox{I\hspace{-.15em}R}\setminus \{0, 1\}$$ et on a

   
   

   $$D_{f \circ f} = \mbox{I\hspace{-.15em}R}\setminus \{0, 1\}$$