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1.5.2 Les systèmes triangulaires

On système d'équations est triangulaire s'il est de la forme suivante :

$$\left \lbrace \begin{array}{l l l l l l l} \ldots & + & \ldo... ...& \ldots\\ & & & & \ldots & = & \ldots\\ \end{array}\right.$$

Un système est triangulaire si les coefficients non nuls se trouvent tous dans la partie triangulaire gauche. Par exemple,

$$\left \lbrace \begin{array}{l l l l l l l} 3x & - & 2y & - &... ... & - & z & = 1 & \\ & & & & z & = 3 & \\ \end{array}\right.$$

Ce type de système est très simple à résoudre, on sait déjà que $z = 3$. Il nous suffit donc de remplacer $z$ par $3$ dans les autres équations :

$$\left \lbrace \begin{array}{l l l l l l l} 3x & - & 2y & - &... ... & - & 3 & = 1 & \\ & & & & z & = 3 & \\ \end{array}\right.$$

Ce qui se re-écrit

$$\left \lbrace \begin{array}{l l l l l l l} 3x & - & 2y & & =... ...& 2y & & & = 4 & \\ & & & & z & = 3 & \\ \end{array}\right.$$

la deuxième équation se résoud tout aussi simplement : $2y = 4 \iff y = 4 - 2 \iff y = 2$, remplaçons donc tous les $y$ par des $2$ :

$$\left \lbrace \begin{array}{l l l l l l l} 3x & - & 2\times ... ... & y & & & = 2 & \\ & & & & z & = 3 & \\ \end{array}\right.$$

Et simplifions,

$$\left \lbrace \begin{array}{l l l l l l l} 3x & & & & = & 3\... ... & y & & & = 2 & \\ & & & & z & = 3 & \\ \end{array}\right.$$

On résoud la première équation de la même façon : $3x = 3 \iff x = 3$. On a donc comme solution :

$$\left \lbrace \begin{array}{l l l l l l l} x & & & & & = & 1... ... & y & & & = 2 & \\ & & & & z & = 3 & \\ \end{array}\right.$$

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