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1.4.2.1 Qu'est-ce qu'une équation ?

Une équation est une proposition liant des objets mathématiques et faisant intervenir des inconnues. Par exemple, $3 + x = 4$, la relation est dans cet exemple une égalité, l'inconnue est $x$. Les objets additionnés sont appelés des termes. Les termes se trouvant à gauche de l'égalité forment le membre de gauche, dit aussi premier membre. Les termes se trouvant à droite de l'égalité forment le membre de droite, dit aussi deuxième membre.

Une valeur est une solution de l'équation si la relation est vérifiée quand on substitue cette valeur à l'inconnue. Par exemple, $1$ est une solution de l'équation $3 + x = 4$.

Une équation peut avoir plusieurs solutions, par exemple $x^2 = 4$ a pour solutions $2$ et $-2$. On apelle ensemble solution l'ensemble de toutes les solutions d'une équation. Par exemple, l'ensemble solution de $3 + x = 4$ est $\{1\}$, l'ensemble solution de $x^2 = 4$ est $\{-2, 2\}$.

Il usuel de considérer une équation comme un prédicat, on dit alors que deux équations sont équivalentes si elles ont le même ensemble solution. Par exemple,

$$2x + 1 = 5 \iff 2x = 5 - 1$$

L'opération, appelée transposition, consistant à faire passer un terme de l'autre coté de l'égalité en changeant son signe, permet de changer l'écriture d'une équation sans changer son ensemble solution. La résolution se fera en applicant successivement des telles opérations jusqu'à ce que la solution se présente de façon triviale. Par exemple,

$$2x + 1 = 4 \iff \ldots \iff x = 2$$

Les étapes intermédiaires ont été volontairement occultées, l'important ici est de saisir que l'on avait au début un relation non triviale, et que l'on termine avec une relation qui donne de façon explicite la solution de l'équation. De sorte qu'il est possible d'écrire :

$$2x + 1 = 4 \iff \ldots \iff x = 2 \iff x \in \{2\}$$

Autre exemple,

$$x^2 = 4 \iff \ldots \iff x \in \{-2, 2\}$$

Bref, résoudre une équation $E$ (qui est en fait un prédicat) revient à déterminer un ensemble $F$ défini comme suit : $F = \{x \vert E\}$, c'est-à-dire l'ensemble des $x$ vérifiant la relation $E$. Par exemple, $\{x \vert x^2 = 4\}$ est l'ensemble des solutions de l'équation $x^2 = 4$.

Il est possible, qu'après des réecritures vous parveniez à montrer qu'une équation équivaut à une proposition toujours vraie, ou toujours fausse. Si une équation équivaut à ''vrai'', alors toute valeur est solution de cette équation. Si une équation équivaut à ''faux'', alors aucune valeur n'est solution de cette équation.

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