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1.25.3.3 Equations différentielles linéaires non homogènes du premier ordre

La méthode utilisée est dite variation de la constante, derrière la dimension comique de cette terminologie se cache une méthode assez astucieuse. Exposons la méthode de résolution d'une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre $E$ :

1. Soit $f = ke^{u(x)}$ la solution générale de l'équation homogène associée.
2. On pose $z(x) = k(x)e^{u(x)}$, en remplaçant $y$ et $y{\prime}$ par respectivement $k(x)e^{u(x)}$ et $k^{\prime}(x)e^{u(x)} + k(x)u^{\prime}(x)e^{u(x)}$, on obtient une expression de $k^{\prime}$. Il ne reste plus qu'à la primitiver pour trouver $k$. On alors définit $z$, qui est alors une solution particulière de $E$.
3. La solution générale $y$ de $E$ est de la forme
   
   $$ke^{u(x)} + z(x)$$
   
   

Illustrons cette méthode par la résolution de

$$2y^{\prime} - xy = 4x$$

1. Résolvons l'équation homogène
   
   $$xy = 2y^{\prime}$$
   
   
   on a $a(x) = x$ et $b(x) = 2$, comme
   
   $$\int\frac{x}{2}dx = \frac{x^2}{4}$$
   
   
   alors la solution générale de cette équation homogène est
   
   $$f(x) = ke^{\frac{x^2}{4}}, k \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$$
   
   

2. Posons
   
   $$z(x) = k(x)e^{\frac{x^2}{4}}$$
   
   
   on a
   
   $$z^{\prime}(x) = k^{\prime}(x)e^{\frac{x^2}{4}} + k(x)\frac{x}{2}e^{\frac{x^2}{4}}$$
   
   
   Substituons $z$ à $y$ dans l'équation, on a alors
   
   $$2k^{\prime}(x)e^{\frac{x^2}{4}} + 2k(x)\frac{x}{2}e^{\frac{x^2}{4}} - x k(x)e^{\frac{x^2}{4}} = 4x$$
   
   
   ce qui équivaut à
   
   $$2k^{\prime}(x)e^{\frac{x^2}{4}} = 4x$$
   
   
   On déduit une expression de $k^{\prime}$,
   
   $$k^{\prime}(x) = 2xe^{-\frac{x^2}{4}}$$
   
   
   D'où,
   
   $$k(x) = 2 \int xe^{-\frac{x^2}{4}}dx$$
   
   
   Posons $u = -\frac{x^2}{4}$, alors $\frac{du}{dx} = -\frac{x}{2}$ ssi $-2du = xdx$, donc
   
   $$k(x) = - 4 \int e^{u}du = -4e^u = -4e^{-\frac{x^2}{4}}$$
   
   
   Et la fonction constante
   
   $$z(x) = - 4e^{-\frac{x^2}{4}}e^{\frac{x^2}{4}} = -4$$
   
   
   est une solution particulière de l'équation
   
   $$2y^{\prime} - xy = 4x$$
   
   
   (c'est trivial à vérifier)
3. La solution générale de l'équation
   
   $$2y^{\prime} - xy = 4x$$
   
   
   est donc
   
   $$ke^{\frac{x^2}{4}} - 4, k \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$$
   
   
   (c'est aussi trivial à vérifier)

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