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1.25.2.4 Equations homogènes

Il est d'usage lorsque l'on présente une équation différentielle de placer toutes les inconnues ainsi que leurs coefficients du coté gauche de l'égalité, et tout le reste à droite. Si le deuxième membre de l'équation est nul, on dit alors que l'équation est homogène. Par exemple,

$$3y - (8x^2 - 1)y^{\prime\prime} = 0$$

est homogène. Par contre,

$$3y - e^x + (8x^2 - 1)y^{\prime\prime} = 0$$

ne l'est pas. En effet, le terme $e^x$ n'est pas un coefficient d'une inconnue et devrait être placé à droite. Ce qui donne,

$$3y + (8x^2 - 1)y^{\prime\prime} = e^x$$

Comme le deuxième membre de cette équation n'est pas nul, celle-ci n'est pas homogène. A toute équation diférentielle non homogène, on associe une unique équation différentielle appelée équation homogène associée. Celle-ci s'obtient en remplaçant le deuxième membre par $0$. Par exemple,

$$3y + (8x^2 - 1)y^{\prime\prime} = e^x$$

a pour équation homogène associée

$$3y + (8x^2 - 1)y^{\prime\prime} = 0$$

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