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1.2.6 Produit cartésien

Définition 1.2.11   Un couple est un élément composé de deux éléments.

On note $(x, y)$ le couple formé des deux éléments $x$ et $y$. Par exemple, $(1, 2)$ est un couple, et $(2, 1)$ est un autre couple. Notez que l'ordre des éléments est important cette fois-ci ! Prenez par exemple des coordonnées dans le plan.

Définition 1.2.12   Un $n$-uplet est un regroupement ordonné de $n$ éléments.

Par exemple, $(4, 5, 3, 3, 9)$ est un quintuplet (ou bien $5$-uplet). Les éléments d'un $n$-uplet sont appelés des composantes. Notez bien que

• l'ordre est important, $(1, 2, 3)$ et $(2, 1, 3)$ sont deux triplets distincts.
• la présence de doublons n'a pas la même signification que pour les ensembles. $(1, 2, 2)$ et $(1, 2)$ sont deux éléments distincts.

Attention ! Un $n$-uplet n'est pas un ensemble !

Définition 1.2.13   Le produit cartésien, noté $\times$, de deux ensembles $A$ et $B$ est défini comme suit : $A \times B = \{(x, y) \vert (x \in A) \wedge (y, \in B)\}$.

Autrement dit, $A \times B$ est l'ensemble de tous les couples qu'il est possible de former avec un élément de $A$ comme première composante et un élément de $B$ comme deuxième composante. Par exemple,

$$\{1, 2, 3\} \times \{a, b\} = \{(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)\}$$

Il est possible d'étendre le produit cartésien à plus de deux ensembles

Définition 1.2.14   $A_1 \times \ldots \times A_n= \{(x_1, \ldots, x_n) \vert \forall i \in \{1, \ldots, n\}, x_i \in A_i\}$.

On note entre autres $E^2$ le produit cartésien de $E$ avec lui même. Par exemple, $R^2$ est l'ensemble des points du plan.

Définition 1.2.15   $(x_1, \ldots, x_n) = (y_1, \ldots, y_n)$ si et seulement si $\forall i \in \{1, \ldots, n\}, x_i = y_i$

Autrement dit, deux $n$-uplets sont égaux si et seulement si toutes leurs composantes sont égales.

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