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1.21.1.5 La loi normale centrée réduite

Observons que si $X$ suit $\mathcal{N}(m, \sigma)$, alors

$$\frac{X-m}{\sigma}\ suit\ \mathcal{N}(0, 1)$$

dite aussi, loi normale centrée (de moyenne $0$) réduite (d'écart-ype $1$). La fonction de répartition de la loi normale centrée réduite est difficile à calculer manuellement. Il est d'usage d'utiliser soit des logiciels, soit des tableaux. Les tableaux donnent les valeurs de la fonction de répartition $F(x)$ de la loi normale centrée réduite pour $x$ strictement positif, on se ramène à une lecture de valeurs du tableau avec les propriétés suivantes :

1. $F(0) = 0.5$ (la courbe est symétrique)
2. $p(X < a) = F(a)$ (par définition)
3. $p(X > a) = 1 - p(X < a) = 1 - F(a)$ (complémentarité)
4. $p(X < -a) = p(X > a)$ (symétrie de la courbe)
5. Si $a<0$, alors $p(- a < X < a) = 2F(a) - 1$.

Soit $X$ une variable aléatoire suivant $\mathcal{N}(m, \sigma)$, alors la variable aléatoire $$\frac{X - m}{\sigma}$$ suit une loi normale centrée réduite. On ramène donc le calcul de $p(X < a)$ à celui de $$p\left(\frac{X - m}{\sigma} < \frac{a - m}{\sigma}\right)$$.

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