next up previous contents
suivant : 1.19.4 Opérations entre variables remonter : 1.19 Variables aléatoires précédent : 1.19.2 Espérance mathématique

1.19.3 Variance, écart-type

Définition 1.19.5   Soit $X$ une variable aléatoire, alors la variance de $X$, notée $V(X)$, est définie comme suit :


\begin{displaymath} V(X) = \sum_{i = 1}^n p(X = x_i)(x_i - E(X))^2 \end{displaymath}

Dans l'exemple, on a $\displaystyle V(X) = \sum_{i = 1}^n p(X = x_i)(x_i - E(X))^2 = \sum_{i = 1}^6 ... ...}{6} + \frac{49}{4} = \frac{-56\times 22 + 49 \times 2 3}{12} = \frac{35}{12}$.

Définition 1.19.6   Soit $X$ une variable aléatoire, alors l'écart-type de $X$, noté $\sigma(X)$, est défini comme suit :


\begin{displaymath} \sigma(X) = \sqrt{V(X)} \end{displaymath}

Propriété 1.19.1   Soit $X$ une variable alors

\begin{displaymath} V(X) = E(X)^2 - E(X^2) \end{displaymath}

Pour simplifier la démonstration, nous noterons $p_i$ à la place de $p(X = x_i)$. Par définition, on a

\begin{displaymath}V(X) = \sum_{i = 1}^n p_i(x_i - E(X))^2 \end{displaymath}

D'une part on a pour tout $i$,

\begin{displaymath}(x_i - E(X))^2 = x_i^2 - 2x_iE(X) + E(X)^2\end{displaymath}

Donc,

\begin{displaymath}V(X) = \sum_{i = 1}^n p_i(x_i^2 - 2x_iE(X) + E(X)^2)\end{displaymath}

De plus,

\begin{displaymath}p_i(x_i^2 - 2x_iE(X) + E(X)^2) = p_ix_i^2 - p_i2E(X)x_i + p_iE(X)^2\end{displaymath}

Donc,

\begin{displaymath}V(X) = \sum_{i = 1}^n (p_ix_i^2 - p_i2E(X)x_i + p_iE(X)^2)\end{displaymath}

Décomposons la somme,

\begin{displaymath}V(X) = \sum_{i = 1}^n p_ix_i^2 - \sum_{i = 1}^np_i2E(X)x_i + \sum_{i = 1}^np_iE(X)^2\end{displaymath}

Mettons $2E(X)$ en facteur dans $\displaystyle \sum_{i = 1}^np_i2E(X)x_i$,

\begin{displaymath}V(X) = \sum_{i = 1}^n p_ix_i^2 - 2E(X)\sum_{i = 1}^np_ix_i + \sum_{i = 1}^np_iE(X)^2\end{displaymath}

Comme $\displaystyle \sum_{i = 1}^n p_ix_i^2 = E(X^2)$ et $\displaystyle \sum_{i = 1}^np_ix_i = E(X)$, alors

\begin{displaymath}V(X) = E(X^2) - 2E(X)^2 + E(X)^2\sum_{i = 1}^np_i\end{displaymath}

Comme $\displaystyle \sum_{i = 1}^np_i = 1$, alors

\begin{displaymath}V(X) = E(X^2) - 2E(X)^2 + E(X)^2 \end{displaymath}

Ce qui se simplifie

\begin{displaymath}V(X) = E(X^2) - E(X)^2\end{displaymath}

Vérifions ce résultat sur l'exemple, $ V(X) = E(X^2) - E(X)^2$ avec $E(X)^2 = (\frac{7}{2})^2 = \frac{49}{4}$ et $\displaystyle E(X^2) = \frac{1}{6}\sum_{i=1}^6 i^2 = \frac{1}{6}(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = \frac{91}{6}$, donc $\displaystyle E(X^2) - E(X)^2 = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12}$.

next up previous contents
suivant : 1.19.4 Opérations entre variables remonter : 1.19 Variables aléatoires précédent : 1.19.2 Espérance mathématique
klaus
2011-02-14