suivant : 1.17.3 Tirages successifs sans remonter : 1.17.2 Tirages successifs sans précédent : 1.17.2.2 Résolution

1.17.2.3 Généralisation

S'il y a $n$ boules numérotées de $1$ à $n$ dans cette urne et que l'on tire successivement $k$ boules sans remise, nous voulons savoir combien de $k$-uplets il est possible de former avec $k$ nombres sélectionnés parmi $n$ sans que le même nombre apparaîsse deux fois. Il y a au premier tirage $n$ possibilités. Comme on ne peut pas sélectionner la même valeur une deuxième fois, il y a au deuxième tirage $n-1$ possibilités. Au $k$-ème tirage, il y a $n - k + 1$ possibilités. Le nombre de possibilités est donc $n \times (n - 1) \times \ldots \times (n - k + 1)$. Cela revient à calculer le cardinal de l'ensemble

$$E = \{(x_1, \ldots, x_k) \vert \forall i \in \{1, \ldots, k\}... ...\{1, \ldots, k\}, (i \not = j) \Longrightarrow x_i \not = x_j\}$$

$E$ est l'ensemble des $k$-uplets d'éléments distinct pris dans $\{1, \ldots, n\}$. On note $\mathcal{A}_n^k$ le cardinal de $E$.