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1.14.2 Primitives usuelles

On définit le tableau des primitives en lisant à "l'envers'' le tableau des dérivées.

$f(x)$	$F(x)$
$0$	$k, k \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$
$k, k \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$	$kx + c, c \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$
$x$	$\frac{x^2}{2} + c, c \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$
$kx, k \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$	$k\frac{x^2}{2} + c, c \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$
$x^2$	$\frac{x^3}{3} + c, c \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$
$x^n$	$\frac{x^{n+1}}{n+1} + c, c \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$
$\frac{1}{x}$	$ln(\vert x\vert) + c, c \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$
$\sqrt{x}$	$\frac{2x\sqrt{x}}{3} + c, c \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x} + c, c \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$
$e^x$	$e^x + c, c \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$
$e^{ax+b}$	$\frac{1}{a}e^{ax+b} + c, c \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$

On déduit du tableau ci-dessus des formules plus générales :

$f(x)$	$F(x)$
$ku^{\prime}(x), k \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$	$ku(x) + c, c \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$
$u^{\prime}(x) + v^{\prime}(x)$	$u(x) + v(x) + c, c \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$
$u^{\prime}(x)v(x) + u(x)v^{\prime}(x)$	$u(x)v(x) + c, c \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$
$\frac{u^\prime(x)}{[u(x)]^n}, n \not = 1$	$\frac{-1}{(n-1)u(x)^{n-1}} + c, c \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$
$\frac{u^\prime(x)}{u(x)}$	$ln(\vert u(x)\vert) + c, c \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$
$u^{\prime}(x)u(x)^n$	$\frac{u(x)^{n+1}}{n+1} + c, c \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$
$u^\prime(x)e^{u(x)}$	$e^{u(x)} + c, c \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$
$v^{\prime}(x)(u^{\prime} \circ v)(x)$	$(u \circ v)(x) + c, c \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}$

Il est trivial de vérifier si on ne s'est pas trompé en déterminant la primitive d'une fonction $f$, il suffit de dériver la primitive de $f$ pour voir si le résultat est bien $f$...

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