Exemple

Considérons l'ensemble $\mbox{I\hspace{-.15em}N}$ des entiers naturels, on le définit de la sorte :

• Base la seul atome de $\mbox{I\hspace{-.15em}N}$ est $0$. Donc On les note $\mathcal{A} = \{0\}$.
• Induction On prend comme unique règle la fonction $s : x \mapsto x + 1$ appelée successeur. Pour tout élément $n$ de $\mbox{I\hspace{-.15em}N}$, on a $s(n) \in N$.

On conviendra donc que $\mbox{I\hspace{-.15em}N}$ est l'ensembles de tous les éléments faisant soit partie de $\mathcal{A}$, soit pouvant être obtenu par application d'un nombre fini de règles. Par exemple, $0 \in \mbox{I\hspace{-.15em}N}$, car $0 \in \mathcal{A}$, $4 \in \mbox{I\hspace{-.15em}N}$, car $0 \in \mathcal{A}$ et $4 = s(s(s(s(0)))) \in \mbox{I\hspace{-.15em}N}$ (vous remarquez que $4$ s'obtient par application d'un nombre fini de règles).