Exercice 23

Prouver par récurrence les propriétés suivantes :

1. Quel que soit $n \geq 0$, $n^2 + n + 1$ est impaire.
2. Soit $(u)$ une suite définie par $u_0 = -2$, $u_{n+1} = (1/2)u_n + 3$, alors $u_n < 6$
3. Soit $(u)$ une suite définie par $u_0 = -2$, $u_{n+1} = (1/2)u_n + 3$, alors $u_n = 6 - \frac{8}{(2^n)}$
4. Soit $(u)$ une suite définie par $u_0 = 2$, $u_{n+1} = 2u_n - n$, alors $u_{n} = 2^n + n + 1$
5. Pour tout $n>0$, $$\sum_{i = 1}^{n}i = \frac{n(n+1)}{2}$$
6. Pour tout $n \geq 0$, $q \not = 1$, $$\sum_{i = 0}^{n}q^i = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$
7. Pour tout $n>0$, $$\sum_{i = 1}^{n}i^2 = \frac{n(n+1)(2n + 1)}{6}$$