Classification des applications

Soit $f : A \longrightarrow B$,

Définition B.2.13   $f$ est injective si

$$\forall a \in A, \forall a^\prime \in A, f(a) = f(a^\prime) \Rightarrow a = a^\prime$$

$f$ est injective si deux éléments distincts ne peuvent pas avoir la même image.

Définition B.2.14   $f$ est surjective si

$$\forall b \in B, \exists a \in A, f(a) = b$$

$f$ est surjective si tout élément de l'ensemble d'arrivée a un antécedent.

Définition B.2.15   $f$ est bijective si elle est à la fois injective et surjective.

$f$ est bijective si tous les éléments de $A$ et de $B$ sont reliés deux à deux.

Propriété B.2.2   Soient $A$ et $B$ deux ensembles et $f : A \longrightarrow B$,

• Si $f$ est injective, alors $\vert A\vert \leq \vert B\vert$
• Si $f$ est surjective, alors $\vert A\vert \geq \vert B\vert$
• Si $f$ est bijective, alors $\vert A\vert = \vert B\vert$

Cette propriété est très importante ! En dénombrement, lorsque le cardinal d'un ensemble est difficile à déterminer, on passe par une bijection vers un autre ensemble dont il est davantage aisé de calculer le cardinal.