Exercice 7 - Exercice introductif

Etant donnée une fonction de chiffrement $f : Z/9Z \longrightarrow Z/9Z$ définie par $f(k) = k*7\ mod\ 9$. Donner la fonction de déchiffrement correspondante.

Définition 15.2.3   Soit $k\in Z/nZ$. L'inverse de $k$, s'il existe, est le nombre qu'il faut multiplier par $k$ pour obtenir $1$, on dit dans ce cas que $k$ est inversible dans $Z/nZ$. On note $k^{-1}$ (ou encore $$\frac{1}{k}$$) l'inverse de $k$.

Par exemple, $2$ est inversible dans $Z/5Z$ et son inverse est $3$, en effet $2 \times 3 \equiv 6 \equiv 1 \pmod 5$. On remarque par ailleurs que $3$ n'est pas inversible dans $Z/6Z$. Voici par exemple un tableau détaillant les éléments inversibles de $Z/9Z$ :

$k$	inversible ?	$k^{-1}$ dans $Z/9Z$
$0$	non
$1$	oui	$1$
$2$	oui	$5$
$3$	non
$4$	oui	$7$
$5$	oui	$2$
$6$	non
$7$	oui	$4$
$8$	oui	$8$