Borne asymptotique supérieure

Une suite $u$ est de borne asymptotique supérieure $v$ si pour $n$ assez grand, $u$ est majorée par $v$ à une constante près. Plus formellement,

Définition 1.1.1   $u_n \in \mathcal{O}(v_n)$ si $\exists N \in \mbox{I\hspace{-.15em}N}, \exists k \in \mbox{I\hspace{-.15em}R}, \forall n \geq N, u_n \leq k.v_n$

Pour $n$ supérieur à $N$, $u$ est majorée par $k.v$, donc par $v$ à la constante $k$ près. Si $N$ et $k$ existent, alors $u_n \in \mathcal{O}(v_n)$. En pratique, on utilise la propriété suivante :

Propriété 1.1.1   $u_n \in \mathcal{O}(v_n)$ ssi $$\lim_{n \longrightarrow + \infty}\frac{u_n}{v_n} = l$$

Plus simplement, $u_n \in \mathcal{O}(v_n)$ si $\frac{u_n}{v_n}$ converge vers une constante (notée $l$ dans la propriété).