Exercice 6 - Le plus beau métier du monde

Un enseignant a donné $k$ notes de contrôle continu à ses $n$ élèves, et une note de partiel pour chaque élève. On note $c_i^j$ la note obtenue par le $i$-ème élève au $j$-ème contrôle continu, et $p_i$ la note de partiel du $i$-ème élève. Il souhaite déterminer le jeu de coefficients qui maximise la moyenne générale de la classe.

1. Comment résoudre ce problème ? Utilisez GLPK pour résoudre l'instance
   
   
2. Que remarquez-vous ?
3. Le responsable pédagogique est en total désaccord, il considère que la note de partiel doit avoir un coefficient au moins égal à $0.5$ et que deux notes de contrôle continu doivent avoir des coefficients au moins égaux à $0.1$. Comment tenir compte de ces contraintes ?
4. En raison d'un petit nombre de notes très élevées à certains examens, la moyenne générale de la classe est bonne malgré le fait que beaucoup d'élèves ont une moyenne très basse. L'enseignant décide donc de changer de critère et de maximiser la moyenne la plus basse. Comment procéder ?
5. Vérifiez la solution de la question précédente en calculant les moyennes de tous les élèves avec les coefficients donnés par GLPK (ne le calculez pas à la main, programmez-le...).