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Dérivée de fonctions composées

On rappelle que $f \circ g$ est défini par $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ et que $(f \circ g)^\prime = g^\prime (f^\prime \circ g)$. Etant donné un ensemble $\{f_1, \ldots,
f_n\}$ de $n$ fonctions, on note


\begin{displaymath}
\bigcirc_{i=1}^n [f_i] = f_1 \circ \ldots \circ f_n
\end{displaymath}

la composition de ces fonctions. Démontrez par récurrence que


\begin{displaymath}
(\bigcirc_{i=1}^n [f_i])^\prime = \prod_{i = 1}^n [f_i^\prime \circ
(\bigcirc_{j=i+1}^{n} [f_j])]
\end{displaymath}


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klaus 2010-08-05