Exercice 31 - Combien y a-t-il de nombres premiers ?

1. Soit $u_n = p_1p_2\ldots p_n - 1$ le produit des $n > 1$ plus petits nombres premiers auquel on a retranché $1$, $p_i$ un des $n$ plus petits nombres premiers. Effectuez une division euclidienne de $u_n$ par $p_i$.
2. Prouvez que $u_n$ n'est divisible par aucun des $n$ plus petits nombres premiers.
3. En déduire qu'il existe une infinité de nombres premiers.