Exercice 17 - Divisibilité

1. Soient $x = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \ldots p_i^{e_i} \ldots p_n^{e_n}$ et $y= p_1^{f_1} p_2^{f_2} \ldots p_i^{f_i} \ldots p_n^{f_n}$. Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les suites $e$ et $f$ permettant de savoir si $x$ et $y$ sont premiers entre eux.
2. Combien $(1, 0, 1, 0, 1, 0, \ldots, 0, \ldots)$ a-t-il de diviseurs ?
3. Combien $1344$ a-t-il de diviseurs ?
4. Donnez une expression élégante permettant de dénombrer les diviseurs de $(e_1, \ldots, e_n)$.