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Soit un graphe, une constante strictement
positive. On s'intéresse à la -colorabilité du graphe
(i.e. peut-on colorier le graphe avec couleurs ?). Nous allons
créer un graphe
à partir de en
procédant de la façon suivante :
- A chaque sommet de , on associe
sommets de , notés
, tous
reliés entre eux par des arêtes.
- Pour chaque arête
de , et chaque couleur , on relie
dans
les sommets et . Notez bien que
comme les sommets sont des couples, les arêtes sont des
paires de couples.
Plus formellement,
-
est un ensemble de couples (sommet de /couleur).
-
avec
un ensemble d'arêtes formant sous-graphes complets de
sommets et
un ensemble d'arêtes reliant ces sous-graphes.
Démontrez de façon formelle et avec le plus de rigueur possible que,
étant donné un graphe arbitraire, un nombre , est
-colorable si et seulement s'il existe un ensemble stable de
sommets dans .
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klaus
2010-08-05