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Le but de cet exercice est de prouver la formule de Poincaré :
En notant
l'ensemble des sous-ensembles de
à
éléments, formellement :
- Réecrivez la formule de Poincaré avec
- Réecrivez la formule de Poincaré avec
- Soient
et
. Calculez
en utilisant la propriété
.
- Réecrivez la formule de Poincaré avec
- Soit
, utilisez la formule de Poincaré pour calculer
.
- On considère
ensembles
. Supposons la
formule de Poincaré vérifiée vérifiée au rang
. Donnez alors une
relation entre
et
- Utilisez les résultats des questions précédentes pour prouver par
récurrence la formule de Poincaré.
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Alexandre
2009-07-20